La théorie quantique des champs

Le langage fondamental de la physique moderne

La théorie quantique des champs est le cadre dans lequel la physique décrit aujourd'hui la matière, la lumière et trois des quatre interactions fondamentales : l'électromagnétisme, l'interaction faible et l'interaction forte. Elle réunit trois héritages qui semblaient incompatibles : la théorie classique des champs de Faraday et Maxwell, la mécanique quantique et la relativité restreinte d'Einstein.

Son idée centrale tient en une phrase : ce que nous appelons des particules sont des excitations quantifiées de champs qui remplissent tout l'espace. De l'électrodynamique quantique (QED) des années 1940 au modèle standard des années 1970, toutes les grandes théories de la physique des particules sont écrites dans cette langue.

C'est aussi la théorie la mieux vérifiée de l'histoire des sciences : le moment magnétique de l'électron, calculé par la QED et mesuré en laboratoire, concorde sur plus de dix chiffres significatifs.

L'Univers n'est pas fait d'objets

La physique classique se représentait l'Univers comme une scène vide peuplée de petites billes indestructibles, un peu comme des briques de Lego qu'on empile pour former un mur ou un corps. La théorie quantique des champs renverse cette image : chaque espèce de particule correspond à un champ qui existe partout, et une particule n'est qu'une vibration localisée de ce champ, qui transporte une quantité bien définie d'énergie.

Cette vision explique un fait étonnant : tous les électrons de l'Univers sont rigoureusement identiques. Ce n'est pas une coïncidence de fabrication, c'est qu'ils sont tous des excitations d'un seul et même champ, le champ électronique.

Trois piliers portent cette construction. La théorie classique des champs (Faraday, Maxwell) remplace l'action à distance par un champ qui emplit l'espace. La mécanique quantique (Planck, Bohr, Heisenberg, Schrödinger) découpe l'énergie en paquets discrets et décrit le monde en probabilités. La relativité restreinte (Einstein, 1905) impose les mêmes lois à tous les observateurs et, avec E = mc², permet de transformer de l'énergie en particules : le nombre de particules n'est donc plus fixé, et seule une théorie de champs sait décrire leur création et leur disparition.

Le mot « particule » reste utile : un détecteur enregistre toujours des impacts localisés, un quantum à la fois. Mais ce qu'il détecte, c'est l'excitation d'un champ, pas une bille qui existerait indépendamment de lui.

L'évolution de l'espace vide

En 1687, dans ses Principia, Newton décrit la gravitation : le Soleil attire la Terre à travers des millions de kilomètres de vide, sans aucun intermédiaire. Newton lui-même jugeait absurde cette action à distance, comme il l'écrit en 1693 à Richard Bentley, mais ses calculs fonctionnaient si bien que les physiciens s'en sont accommodés pendant près de deux siècles.

Au XIX^e siècle, Michael Faraday, qui raisonnait en images plutôt qu'en équations, observe la limaille de fer s'aligner autour d'un aimant. Il en conclut que l'espace autour de l'aimant n'est pas vide : il est parcouru de lignes de force. C'est la naissance du concept de champ. En 1865, James Clerk Maxwell traduit cette intuition en équations et montre que les champs électrique et magnétique se propagent en ondes à la vitesse de la lumière : la lumière elle-même est une onde électromagnétique, ce que Hertz confirmera en 1887.

Ce triomphe se heurte pourtant à l'atome. Selon Maxwell, un électron en orbite, constamment accéléré, devrait rayonner, perdre son énergie et s'écraser sur le noyau en une centaine de picosecondes environ (de l'ordre de 10⁻¹¹ s), en émettant un spectre continu. Or la matière est stable et les atomes émettent des raies de couleurs bien distinctes. S'y ajoute l'énigme du rayonnement du corps noir.

La sortie de crise se fait en plusieurs étapes. En 1900, Max Planck suppose que la matière échange l'énergie lumineuse par paquets E = hν. En 1905, Einstein va plus loin : la lumière elle-même est faite de quanta, ce qui explique l'effet photoélectrique ; on les appellera photons à partir de 1926. En 1913, Niels Bohr impose aux électrons des niveaux d'énergie discrets : l'atome émet par sauts, d'où les raies.

L'équation de Schrödinger

En 1926 naît la mécanique quantique ondulatoire. L'électron n'y est plus un point qui suit une trajectoire, mais une fonction d'onde Ψ qui s'étend dans l'espace ; le carré de son module donne la probabilité de le trouver en un lieu donné. Erwin Schrödinger écrit l'équation qui gouverne son évolution :

iħ ∂Ψ/∂t = ĤΨ

Ici ħ est la constante de Planck réduite et Ĥ l'opérateur hamiltonien, qui représente l'énergie totale du système. L'équation reproduit avec précision les niveaux d'énergie de l'atome d'hydrogène.

Elle a pourtant trois limites. Elle n'est pas relativiste : le temps y apparaît par une dérivée première et l'espace par une dérivée seconde, alors que la relativité les met sur le même plan. Elle décrit un nombre fixe de particules et ne sait donc ni créer ni détruire un photon. Enfin, elle ne peut pas expliquer l'émission spontanée : un atome excité, laissé seul, y resterait excité pour toujours, alors qu'en réalité il finit toujours par émettre un photon. Il fallait une théorie capable d'unir les quanta, les champs et la relativité.

Paul Dirac et la naissance de la théorie quantique des champs

En 1927, Paul Dirac applique les règles quantiques au champ électromagnétique lui-même. Le photon devient le quantum de ce champ : il peut être créé ou absorbé. Dirac calcule ainsi le taux d'émission spontanée des atomes et retrouve la valeur qu'Einstein avait obtenue en 1917 par un autre raisonnement. C'est l'acte de naissance de l'électrodynamique quantique et, plus largement, de la théorie quantique des champs.

En 1928, Dirac publie une seconde découverte, distincte de la première : une équation d'onde relativiste pour l'électron.

(iγ^μ∂_μ − m)ψ = 0

Cette équation décrit les particules de matière de spin ½, comme l'électron ; elle ne décrit pas la lumière. Elle explique naturellement le spin de l'électron et son moment magnétique. Elle admet aussi des solutions d'énergie négative, que Dirac finit par interpréter en 1931 comme une particule nouvelle : l'anti-électron. Carl Anderson le découvre en 1932 dans les rayons cosmiques et le baptise positron.

Ce qui place la lumière et la matière sur le même pied, ce n'est donc pas l'équation de 1928, mais le traitement de l'une et de l'autre comme des champs quantifiés, achevé à la fin des années 1920 avec Jordan, Wigner, Heisenberg et Pauli. Dans ce cadre, le positron n'est plus un « trou » dans une mer d'électrons, comme le pensait Dirac : c'est une excitation du même champ que l'électron, de charge opposée.

La métaphore des étangs superposés

Pour se représenter les champs, on peut imaginer des étangs superposés. Le premier est le champ électronique : un électron n'est pas un caillou jeté dans l'eau, c'est une vague à sa surface. Le deuxième est le champ électromagnétique, dont les vagues sont les photons. D'autres étangs, pour les quarks, les gluons ou le champ de Higgs, remplissent le même espace.

Ces étangs ne sont pas isolés les uns des autres : ils sont couplés. Quand une vague du champ électronique s'agite, par exemple lors d'une collision, une partie de son énergie passe dans le champ électromagnétique et y fait naître une vague nouvelle : un photon est émis. Toute interaction se ramène ainsi à des transferts d'énergie entre champs. L'intensité du couplage entre électrons et photons est mesurée par la constante de structure fine, α ≈ 1/137. Sa petite valeur est une chance : elle permet de calculer les interactions par approximations successives.

La métaphore a deux limites. Les vagues d'un champ quantique ne prennent pas n'importe quelle amplitude : elles arrivent par quanta entiers, on ne crée jamais un demi-photon. Et il n'y a pas d'« eau » sous-jacente : le champ n'est pas une substance posée dans l'espace, c'est une grandeur définie en chaque point de l'espace-temps.

Le vide qui bout

Que se passe-t-il quand un étang est parfaitement calme ? En théorie des champs, le vide est l'état d'énergie la plus basse de tous les champs, mais il n'est jamais parfaitement immobile. Chaque mode d'un champ se comporte comme un oscillateur quantique, et le principe d'incertitude de Heisenberg interdit qu'un oscillateur ait à la fois une valeur et une vitesse de variation exactement nulles. Il lui reste une énergie minimale, l'énergie du point zéro, égale à ½ ħω pour un mode de pulsation ω.

On décrit souvent ce vide agité comme un bouillonnement de paires particule-antiparticule « empruntant » de l'énergie pendant un temps très bref, au nom de la relation ΔE · Δt ≳ ħ/2. C'est une image commode, pas une description littérale : la relation temps-énergie n'a pas le même statut que celle entre position et quantité de mouvement, et ces particules dites virtuelles sont des termes intermédiaires du calcul, jamais observés directement.

Les effets du vide quantique, eux, sont bien réels et mesurés. Le déplacement de Lamb (1947) décale légèrement deux niveaux de l'atome d'hydrogène qui devraient avoir la même énergie. L'effet Casimir, prédit en 1948 et mesuré avec précision en 1997, attire deux plaques métalliques très proches. La polarisation du vide modifie la charge effective de l'électron selon la distance.

Le vide quantique éclaire aussi l'émission spontanée qui résistait à Schrödinger : un atome excité n'est jamais vraiment seul, car il est couplé au champ électromagnétique quantifié. Les fluctuations du vide et la réaction de l'atome à son propre rayonnement suffisent à le faire retomber en émettant un photon.

La crise des infinis

Dès 1930, les calculs de la nouvelle théorie se heurtent à un mur. Au premier ordre, ils donnent de bons résultats. Mais dès qu'on cherche les corrections suivantes, par exemple l'énergie d'un électron qui interagit avec son propre champ, les intégrales divergent : la masse et la charge de l'électron deviennent infinies.

Pendant près de vingt ans, de 1930 à 1947, la théorie quantique des champs semble à la fois juste et inutilisable. Plusieurs de ses fondateurs, dont Heisenberg, cherchent alors d'autres voies, comme l'introduction d'une longueur minimale ou l'abandon de la notion de champ au profit de la seule description des collisions. La théorie décrivait la réalité, mais ses mathématiques ne la maîtrisaient pas encore.

Feynman et la renormalisation

Le déblocage vient de l'expérience. En 1947, Willis Lamb mesure le petit décalage des niveaux de l'hydrogène que la théorie de Dirac ne prévoyait pas. Entre 1947 et 1949, Sin-Itiro Tomonaga, Julian Schwinger, Richard Feynman puis Freeman Dyson, qui montre l'équivalence de leurs approches, mettent au point la renormalisation. Tomonaga, Schwinger et Feynman reçoivent le prix Nobel en 1965.

L'idée repose sur la distinction entre l'électron « nu » et l'électron « habillé ». L'électron nu, isolé dans un vide parfait, n'est qu'une abstraction mathématique : un électron réel est toujours entouré du nuage de fluctuations du vide qu'il polarise. On ne mesure jamais que l'électron habillé. La renormalisation consiste à exprimer toutes les prédictions en fonction de la masse et de la charge mesurées ; les infinis disparaissent alors des résultats observables, qui deviennent finis et comparables à l'expérience. Le premier succès éclatant est le calcul par Schwinger, en 1948, de l'écart du moment magnétique de l'électron à la valeur de Dirac.

Feynman apporte un outil qui va conquérir toute la physique : ses diagrammes, qui représentent chaque terme du calcul par un dessin. Le plus simple montre deux électrons qui échangent un photon virtuel. Plus intuitifs que le formalisme de Schwinger, ils se sont imposés très vite. La méthode n'a pas convaincu tout le monde pour autant : Dirac l'a jugée peu satisfaisante jusqu'à la fin de sa vie, et Feynman lui-même la tenait pour un procédé provisoire.

Kenneth Wilson et la limite de la théorie

Au début des années 1970, Kenneth Wilson donne un sens physique profond à la renormalisation, travaux pour lesquels il reçoit le prix Nobel en 1982. Avec le groupe de renormalisation, il montre que les paramètres d'une théorie, comme l'intensité d'une interaction, dépendent de l'échelle à laquelle on observe le système.

Une théorie n'est alors valable que dans une certaine gamme d'échelles : c'est une théorie effective. On peut la comparer à une carte, très utile jusqu'à une certaine résolution ; si l'on zoome au-delà, l'information se perd et l'on ne voit plus que des pixels. Les infinis signalent qu'on a poussé la théorie au-delà de son domaine de validité, pas que la réalité elle-même est infinie.

De l'échelle humaine à celle de l'atome (10⁻¹⁰ m), puis du noyau (10⁻¹⁵ m), la théorie quantique des champs fonctionne remarquablement bien. Mais vers l'échelle de Planck, environ 10⁻³⁵ m, les effets quantiques de la gravitation ne peuvent plus être négligés : là commence une physique encore inconnue. La théorie quantique des champs n'est pas la théorie définitive ; c'est la meilleure approximation dont nous disposons.

Les symétries de l'Univers

Une fois l'électromagnétisme maîtrisé, les physiciens s'en servent de modèle pour les autres interactions. Leur guide est la notion de symétrie de jauge. On peut changer la phase de la fonction d'onde d'un électron différemment en chaque point de l'espace sans changer la physique, à condition d'introduire un champ qui compense ce changement :

ψ(x) → e^iα(x) ψ(x)

Ce champ de compensation, c'est le champ électromagnétique, et son quantum est le photon. Autrement dit, l'interaction découle de la symétrie. Pour l'électromagnétisme, le groupe de symétrie s'appelle U(1). Il est dit abélien : l'ordre des transformations n'importe pas, et le photon, qui n'a pas de charge électrique, n'interagit pas directement avec les autres photons. Deux faisceaux lumineux se croisent ainsi sans se dévier, à des effets quantiques infimes près.

En 1954, Chen Ning Yang et Robert Mills généralisent l'idée à des symétries non abéliennes, où les particules porteuses de la force portent elles-mêmes une charge et interagissent entre elles. L'interaction forte repose sur le groupe SU(3) : ses huit gluons portent une « couleur » et s'échangent des interactions en permanence. L'interaction faible et l'électromagnétisme sont unifiés dans la théorie électrofaible de Glashow, Weinberg et Salam (1961–1968), fondée sur le groupe SU(2) × U(1), dont les quanta sont les bosons W⁺, W⁻, Z⁰ et le photon. Le modèle standard tout entier s'écrit SU(3) × SU(2) × U(1).

La liberté asymptotique

L'interaction forte se comporte à l'opposé de l'expérience quotidienne. La force électrique entre deux charges diminue avec la distance, comme 1/r². Entre deux quarks, c'est l'inverse : très proches l'un de l'autre, ils sont presque libres. En 1973, David Gross, Frank Wilczek et David Politzer montrent que l'intensité de l'interaction forte diminue aux courtes distances, ce qui leur vaut le prix Nobel en 2004. C'est la liberté asymptotique, déjà visible dans les expériences de diffusion d'électrons sur des protons menées à Stanford à la fin des années 1960.

On peut se représenter les quarks reliés par un élastique fait de gluons. Proche, l'élastique est détendu. Quand on écarte les quarks, au-delà d'environ 10⁻¹⁵ m, l'énergie stockée croît à peu près proportionnellement à la distance. La force, elle, ne grandit pas indéfiniment : elle se stabilise autour d'une valeur constante, de l'ordre de 10⁵ newtons, soit le poids d'une quinzaine de tonnes appliqué à une particule.

Quand l'énergie accumulée suffit à créer une nouvelle paire quark-antiquark, l'élastique se rompt : on n'obtient pas un quark isolé, mais de nouvelles particules composites. C'est pourquoi aucun quark libre n'a jamais été observé : l'interaction forte confine les quarks à l'intérieur des hadrons, comme les protons et les neutrons. Les quarks ne sont pas prisonniers de la matière, mais de la force elle-même. La démonstration mathématique rigoureuse de ce confinement reste d'ailleurs un problème ouvert.

Le problème de la masse

La symétrie de jauge a un prix : elle exige que les particules porteuses de la force soient de masse nulle. Pour le photon, c'est parfait. Pour l'interaction faible, c'est intenable : sa portée est minuscule, de l'ordre de 10⁻¹⁸ m, ce qui suppose des porteurs très lourds. Les bosons W et Z, découverts au CERN en 1983, le confirment : m_W ≈ 80,4 GeV/c² et m_Z ≈ 91,2 GeV/c², soit environ 86 et 97 fois la masse du proton.

Ajouter ces masses « à la main » dans les équations détruit la symétrie et, avec elle, la possibilité de renormaliser la théorie : les infinis reviennent. Le problème touche aussi l'électron et les quarks, dont les masses sont, elles aussi, interdites par la symétrie électrofaible.

Une précision s'impose : une particule massive n'est pas une particule « lente ». Elle peut aller à toute vitesse inférieure à celle de la lumière. La masse se traduit par l'inertie et, pour un porteur de force, par une portée limitée. La théorie était élégante et symétrique, les expériences disaient autre chose : il fallait une idée nouvelle.

Le champ de Higgs

La solution, proposée en 1964 par Robert Brout et François Englert, par Peter Higgs, et par Gerald Guralnik, Carl Hagen et Tom Kibble, est la brisure spontanée de symétrie. Les équations restent symétriques, mais l'état d'énergie minimale ne l'est pas.

Le ferromagnétisme en donne une image. Au-dessus de 770 °C, les petits aimants atomiques d'un morceau de fer s'agitent dans toutes les directions : aucune n'est privilégiée, la symétrie est parfaite. En refroidissant, ils s'alignent spontanément dans une direction, qui n'était imposée par rien : le fer devient un aimant, et la symétrie est brisée.

Dans l'Univers primordial, très chaud, toutes les particules élémentaires étaient sans masse. Environ 10⁻¹¹ s après le Big Bang, l'Univers en expansion s'est suffisamment refroidi pour que le champ de Higgs prenne une valeur non nulle partout dans l'espace. Les bosons W et Z ont alors acquis leur masse, et les électrons et les quarks la leur, proportionnelle à l'intensité de leur couplage avec ce champ. Le photon et les gluons, qui ne s'y couplent pas, sont restés sans masse.

On compare souvent cette interaction à une « résistance » ou à une mélasse. L'image est trompeuse : une particule en mouvement uniforme ne perd aucune énergie dans le champ de Higgs et n'est pas freinée ; c'est sa masse, donc son inertie, qui en découle. Le boson de Higgs, vibration de ce champ, a été découvert au CERN le 4 juillet 2012 par les expériences ATLAS et CMS, avec une masse d'environ 125 GeV/c². Englert et Higgs ont reçu le prix Nobel en 2013.

Le champ de Higgs n'explique pas pour autant toute la masse qui nous entoure. Environ 99 % de la masse d'un proton ou d'un neutron, et donc de notre corps, vient de l'énergie de l'interaction forte qui lie les quarks entre eux, et non de leur couplage au champ de Higgs.

L'éléphant dans la pièce : la gravité

La théorie quantique des champs fonctionne presque partout, sauf pour la gravitation. On peut le comprendre avec l'image d'un théâtre. Pour les trois forces du modèle standard, l'espace-temps est une scène plate et rigide sur laquelle les particules jouent leur rôle. Avec la relativité générale d'Einstein, la gravitation est la scène elle-même : elle se courbe, s'étire et réagit à la présence des acteurs.

Si l'on applique à la gravitation les méthodes qui ont réussi ailleurs, on obtient une théorie non renormalisable, comme l'ont montré Gerard 't Hooft et Martinus Veltman en 1974, puis Marc Goroff et Augusto Sagnotti en 1986. Chaque nouvel ordre de calcul fait apparaître un infini d'un type nouveau, qu'il faudrait corriger par un nouveau paramètre mesuré : il en faudrait une infinité, et la théorie perd tout pouvoir prédictif à très haute énergie.

Conformément à l'idée de Wilson, cette gravitation quantique reste utilisable comme théorie effective aux énergies ordinaires. C'est vers l'échelle de Planck, au centre des trous noirs ou aux premiers instants du Big Bang, qu'elle cesse de fonctionner. Les candidates à une théorie plus complète, comme la théorie des cordes ou la gravitation quantique à boucles, n'ont reçu à ce jour aucune confirmation expérimentale, et le LHC n'a trouvé aucune trace de la supersymétrie.

La théorie quantique des champs a d'autres fragilités, indépendantes de la gravitation. Le théorème de Haag (1955) montre que l'une de ses méthodes de calcul standard n'a pas de fondement mathématique rigoureux, alors même qu'elle donne d'excellents résultats. Et l'un des sept problèmes du millénaire de l'Institut Clay, doté d'un million de dollars, demande de construire rigoureusement une théorie de Yang-Mills et de démontrer qu'elle possède un « écart de masse ».

La frontière de la connaissance

Ce que nous savons est considérable. La théorie quantique des champs décrit toutes les particules connues et leurs interactions, à l'exception de la gravitation, et ses prédictions ont été confirmées avec une précision inégalée. Notre technologie en dépend : lasers, semi-conducteurs et milliards de transistors de nos téléphones, imagerie par résonance magnétique, et même la tomographie par émission de positons, qui utilise l'antimatière prédite par Dirac pour observer l'intérieur du corps.

Ce que nous ne savons pas l'est tout autant. Nous n'avons pas de théorie quantique complète de la gravitation. La matière noire, environ 27 % du contenu en énergie de l'Univers, reste de nature inconnue. L'énergie noire, environ 68 %, accélère l'expansion de l'Univers, découverte en 1998, sans qu'on sache pourquoi. L'origine de la masse des neutrinos et celle de l'excès de matière sur l'antimatière restent elles aussi inexpliquées.

Le vide est au cœur de plusieurs de ces énigmes. Si l'on estime naïvement l'énergie du vide quantique et qu'on la compare à l'énergie noire observée, on trouve un écart pouvant atteindre 120 ordres de grandeur : c'est le problème de la constante cosmologique, sans doute le plus grand désaccord entre théorie et observation de toute la physique.

Certains programmes de recherche explorent l'idée que l'espace-temps lui-même pourrait émerger d'une structure quantique plus profonde. Dire que la matière, l'espace et le temps ne seraient que des vibrations du vide reste toutefois une hypothèse, pas un résultat. Ce qui est établi, c'est que le vide de la physique moderne n'a rien de vide.