Philosophie

C'est une des plus vieilles énigmes de la pensée scientifique. Galilée affirmait déjà que le « livre de la nature » est écrit en langage mathématique. En 1960, le physicien Eugene Wigner lui a donné sa forme moderne dans un essai célèbre sur « la déraisonnable efficacité des mathématiques dans les sciences de la nature ». La question a deux volets : le comment, sur lequel on sait beaucoup de choses, et le pourquoi, qui reste ouvert.

Le comment : ce que font concrètement les mathématiques

Les mathématiques sont d'abord une science des structures et des régularités. Quand on écrit une loi physique, on repère un motif qui se répète (une pomme qui tombe, la Lune qui tourne) et on le dépouille de tout ce qui est accidentel pour n'en garder que la forme. Newton comprend ainsi que la chute de la pomme et l'orbite lunaire relèvent de la même équation. C'est cette capacité d'abstraction qui rend visible un ordre que les sens ne perçoivent pas directement.

Le mécanisme le plus profond est sans doute la symétrie. Le théorème d'Emmy Noether (1918) montre que chaque symétrie continue d'un système correspond à une grandeur conservée. Si les lois de la physique sont les mêmes aujourd'hui et demain, l'énergie se conserve. Si elles sont les mêmes ici et ailleurs, la quantité de mouvement se conserve. Si elles ne dépendent pas de l'orientation, le moment cinétique se conserve. L'ordre de l'univers apparaît alors comme une conséquence de ses invariances, et la physique des particules moderne est entièrement construite sur ce principe à travers la théorie des groupes.

Le signe le plus frappant de cette efficacité est le pouvoir prédictif. Plusieurs fois, les mathématiques ont annoncé une réalité avant qu'on l'observe :

• Neptune a été trouvée en 1846 à l'endroit calculé par Le Verrier à partir des anomalies de l'orbite d'Uranus.
• L'équation de Dirac impliquait l'existence d'une antiparticule de l'électron, et le positron a été découvert quelques années plus tard.
• Le boson de Higgs, prédit en 1964, a été observé en 2012.
• Les ondes gravitationnelles, déduites des équations d'Einstein en 1916, ont été détectées un siècle après.

Dans chacun de ces cas, une structure abstraite contenait une information sur le monde que personne n'avait encore vue.

L'ordre mathématique apparaît aussi là où on ne l'attend pas. On trouve des spirales de Fibonacci dans les tournesols, parce que cette disposition optimise le placement des graines. La courbe en cloche surgit partout, parce que l'addition de nombreux petits effets aléatoires y conduit inévitablement. Les fractales décrivent les côtes, les poumons ou les arbres. Même le hasard obéit à des lois.

Le pourquoi : plusieurs réponses en concurrence

Ici, il n'y a pas de consensus, mais plusieurs grandes positions.

La position platonicienne considère que les objets mathématiques existent indépendamment de nous et que l'univers est en quelque sorte « fait » de structures mathématiques. Max Tegmark pousse l'idée à l'extrême avec son hypothèse d'un univers mathématique : la réalité serait une structure mathématique. Dans ce cadre, l'efficacité des mathématiques n'est plus mystérieuse, elle est tautologique.

L'explication évolutive et cognitive part de l'autre bout. Notre cerveau s'est formé dans ce monde-ci, en manipulant des objets, des quantités et des trajectoires. Les mathématiques seraient le prolongement de catégories mentales façonnées par la nature elle-même, il serait donc naturel qu'elles s'y ajustent.

L'argument du biais de sélection est plus sceptique. Nous remarquons les succès et oublions les domaines où les mathématiques peinent : la météo au-delà de quelques jours, l'économie, la biologie des systèmes complexes, la conscience. Nous choisissons aussi les problèmes que nous savons formuler mathématiquement. L'univers ne serait pas si mathématique que cela, c'est notre regard qui filtre.

Le réalisme structural propose une voie médiane. Les mathématiques ne nous disent peut-être pas ce que sont les choses, mais elles capturent les relations entre elles, et c'est ce niveau relationnel qui serait réellement ordonné.

Une nuance importante

Les mathématiques ne révèlent pas seulement l'ordre, elles en révèlent aussi les limites. La théorie du chaos montre que des lois parfaitement déterministes peuvent produire un comportement imprévisible en pratique. La mécanique quantique décrit avec une précision extraordinaire des phénomènes fondamentalement probabilistes. Gödel a prouvé qu'aucun système formel suffisamment riche ne peut tout démontrer sur lui-même. L'ordre que montrent les mathématiques n'est donc pas celui d'une horloge parfaite, mais celui d'une structure qui contient sa propre part d'imprévisible.

Au fond, le mystère tient peut-être moins au fait que l'univers soit ordonné qu'au fait que cet ordre soit compréhensible, et qu'un esprit né de cet univers puisse le saisir. Einstein disait que c'était là la chose la plus incompréhensible à son sujet.

L'idée centrale est surprenante : en physique moderne, on ne postule plus les forces directement. On postule des symétries, et les forces en découlent presque automatiquement, comme une conséquence obligée.

Le point de départ : symétrie et conservation

En 1918, Emmy Noether démontre un théorème fondamental : à chaque symétrie continue des lois physiques correspond une quantité conservée. Si les lois sont les mêmes aujourd'hui et demain (symétrie dans le temps), l'énergie se conserve. Si elles sont les mêmes ici et là-bas (symétrie dans l'espace), la quantité de mouvement se conserve. Si elles ne dépendent pas de l'orientation, le moment cinétique se conserve. Les symétries ne sont donc pas de simples curiosités esthétiques : elles dictent ce qui peut ou ne peut pas changer dans l'univers.

Le pas décisif : rendre la symétrie locale

En mécanique quantique, une particule comme l'électron est décrite par une fonction d'onde qui possède une « phase », sorte d'aiguille de cadran invisible. Changer cette phase partout de la même façon ne modifie aucune prédiction physique : c'est une symétrie globale, qui implique la conservation de la charge électrique.

Exigeons maintenant davantage : que l'on puisse tourner cette aiguille différemment en chaque point de l'espace et à chaque instant, sans que la physique change. C'est une symétrie locale, ou symétrie de jauge. Problème : les équations de l'électron ne la respectent pas telles quelles, car elles comparent la phase entre points voisins. Pour rétablir la symétrie, il faut introduire un nouveau champ qui sert de « raccord » entre les conventions locales, un peu comme une table de correspondance permettant de comparer des cartes dont chacune aurait son propre nord.

Ce champ de raccord, c'est exactement le champ électromagnétique, et son quantum est le photon. Autrement dit, exiger la symétrie locale de phase (groupe U(1)) produit l'électromagnétisme, avec ses équations de Maxwell et l'interaction de l'électron avec la lumière.

La même recette pour les autres forces

Le Modèle standard applique ce principe à des symétries plus riches. La symétrie SU(3), qui agit sur la « couleur » des quarks, exige huit champs de raccord : les gluons, médiateurs de l'interaction forte. Comme ce groupe est non commutatif (l'ordre des transformations compte), les gluons portent eux-mêmes de la couleur et interagissent entre eux, ce qui explique le confinement des quarks. La symétrie SU(2)×U(1) engendre de son côté l'interaction électrofaible, avec ses bosons W, Z et le photon.

Une subtilité apparaît ici : une symétrie de jauge exacte impose des médiateurs sans masse, or les bosons W et Z sont très lourds. La solution est la brisure spontanée de symétrie : les lois restent symétriques, mais l'état fondamental de l'univers (le champ de Higgs qui imprègne l'espace) ne l'est pas. C'est ce mécanisme qui donne leur masse aux W et Z, et le boson de Higgs découvert en 2012 en est la trace.

La gravitation suit une logique voisine. Einstein exige que les lois soient les mêmes quel que soit le système de coordonnées choisi localement, et la relativité générale en découle, avec la courbure de l'espace-temps jouant le rôle de champ de raccord.

Pourquoi cela fonctionne-t-il ?

Il y a une réponse partielle, technique : les particules de spin 1 sans masse ne peuvent être décrites de façon cohérente (sans probabilités négatives ni infinis incontrôlables) que si leur théorie possède une symétrie de jauge. La symétrie n'est donc pas un choix arbitraire, c'est une condition de cohérence mathématique de la mécanique quantique relativiste.

Mais la question profonde reste ouverte : pourquoi la nature a-t-elle choisi précisément SU(3)×SU(2)×U(1) ? Personne ne le sait. Les théories de grande unification tentent d'y voir les fragments d'une symétrie unique plus vaste, brisée lors du refroidissement de l'univers primordial, mais aucune n'a encore été confirmée expérimentalement.

En résumé

Les symétries fixent les lois de conservation (Noether), et lorsqu'on les impose localement, elles exigent l'existence de champs médiateurs, c'est-à-dire des forces. La forme de chaque force reflète la structure de la symétrie qui l'engendre.

C'est une des grandes questions de la physique contemporaine. Il faut distinguer ce qui est établi (une grande partie de la physique connue est de la géométrie) de ce qui relève de la recherche spéculative (l'espace-temps lui-même émergerait d'une géométrie plus abstraite). Quant au « pourquoi », personne ne le sait vraiment.

Ce qui est établi : les lois sont des propriétés géométriques

La gravitation est une courbure. Avec la relativité générale (1915), Einstein a montré que la gravité n'est pas une force au sens newtonien. C'est la courbure de l'espace-temps. L'équation d'Einstein relie la géométrie (la courbure) au contenu en énergie et en matière. La matière dit à l'espace-temps comment se courber, et l'espace-temps dit à la matière comment se mouvoir. Une planète en orbite suit simplement la trajectoire la plus « droite » possible, une géodésique, dans un espace courbé.

Les lois de conservation viennent des symétries. Le théorème d'Emmy Noether (1918) montre que chaque symétrie continue engendre une quantité conservée. L'invariance par translation dans le temps donne la conservation de l'énergie. L'invariance par translation dans l'espace donne celle de la quantité de mouvement. L'invariance par rotation donne celle du moment cinétique. Ces lois ne sont donc pas des règles ajoutées : elles découlent de la forme même de l'espace-temps.

Les autres forces sont aussi de la géométrie. L'électromagnétisme et les interactions faible et forte sont décrits par des théories de jauge. En langage mathématique, ce sont des connexions sur des fibrés, et le champ de force y joue le rôle d'une courbure. Si l'on exige que la phase d'une particule chargée puisse être choisie librement en chaque point de l'espace, on est forcé d'introduire un champ qui compense ce choix : c'est le photon. La force naît d'une exigence de symétrie locale. Le modèle standard tient en trois groupes de symétrie : U(1), SU(2) et SU(3).

Les particules sont des représentations de symétries. Eugene Wigner (1939) a montré qu'une particule élémentaire correspond à une façon irréductible dont les symétries de l'espace-temps (le groupe de Poincaré) peuvent agir sur des états quantiques. La masse et le spin ne sont pas des « étiquettes » arbitraires : ce sont les paramètres qui classent ces représentations.

La mécanique quantique a aussi sa géométrie. L'espace des états quantiques possède une métrique naturelle (Fubini-Study) et une courbure. Celle-ci se manifeste concrètement par la phase de Berry, mesurable en laboratoire.

Ce qui est spéculatif : l'espace-temps émergerait

Ici, on inverse la perspective : l'espace-temps ne serait plus la scène fondamentale, mais une structure dérivée.

L'espace issu de l'intrication. Dans le cadre de la correspondance AdS/CFT, la formule de Ryu-Takayanagi (2006) relie l'intrication d'un système quantique à l'aire d'une surface dans un espace-temps courbe. Mark Van Raamsdonk (2010) en a tiré l'idée que la connectivité de l'espace serait « tissée » par l'intrication : supprimer l'intrication découpe littéralement l'espace en morceaux. La conjecture ER=EPR de Maldacena et Susskind (2013) va plus loin. Elle propose que deux particules intriquées soient reliées par un minuscule trou de ver.

L'amplituèdre. Nima Arkani-Hamed et Jaroslav Trnka (2013) ont découvert que, dans une théorie simplifiée (super Yang-Mills N=4), les probabilités de collision entre particules se calculent comme le « volume » d'un objet géométrique abstrait. Dans cette formulation, la localité (rien n'agit à distance) et l'unitarité (les probabilités totalisent 1) ne sont pas des principes posés au départ. Elles émergent comme conséquences de la géométrie. D'où le slogan d'Arkani-Hamed : l'espace-temps est « condamné » en tant que notion fondamentale.

D'autres pistes. La gravité quantique à boucles décrit l'espace comme un réseau de spins aux aires et volumes quantifiés. La théorie des cordes fait dépendre les propriétés des particules de la forme des dimensions supplémentaires (variétés de Calabi-Yau). Les ensembles causaux réduisent l'espace-temps à un ordre causal discret.

Aucune de ces approches n'est confirmée expérimentalement, et l'amplituèdre ne fonctionne pour l'instant que dans des théories qui ne décrivent pas exactement notre monde.

Et le « pourquoi » ?

Il n'y a pas de consensus, mais plusieurs positions :

• Wigner (1960) parlait de la « déraisonnable efficacité des mathématiques » et y voyait un mystère sans explication.
• Le réalisme structural soutient que la physique ne nous révèle pas la nature intrinsèque des choses, seulement leurs relations. Or la géométrie est précisément la science des relations : distances, angles, symétries. Il serait donc naturel qu'elle soit le langage de toute physique.
• Max Tegmark défend une thèse radicale : la réalité est une structure mathématique, rien de plus.
• Une lecture plus prudente tient que toute mesure est une comparaison (une longueur rapportée à un étalon, une durée à une horloge). Notre physique serait alors géométrique parce que notre accès au monde est relationnel. La géométrie décrirait la réalité sans nécessairement la « faire naître ».

La formulation « la réalité naît de la géométrie » est donc peut-être à nuancer. Il est certain que les lois physiques ont une forme géométrique profonde. Savoir si la géométrie est la cause de la réalité ou seulement sa description la plus fidèle reste une question ouverte, à la frontière entre physique et philosophie.